Até agora partiu-se do pressuposto de que a duração das tarefas no projeto era constante e conhecida com exatidão.
Assim, a atividade “desenho geral” no exemplo usado tinha uma duração de 15 dias.
Normalmente, os dados na prática não são tão seguros.
A duração de uma atividade pode variar e o “desenho geral” poderia durar 14 ou 18 dias.
Os métodos deterministas examinados nos parágrafos anteriores substituíram esta série de valores possíveis pelo que se denomina valor esperado, isto é, o valor médio.
Os valores probabilísticos, que agora se apresentam, ajustam-se muito mais à realidade; a priori pode-se supor que a duração de cada atividade admite uma gama de valores possíveis, cada um deles com uma certa probabilidade de acontecer.
Poder-se-ia estimar, por exemplo, que a atividade “desenho geral” mencionada antes tem uma duração prevista entre 13 e 18 dias, com uma distribuição como a que apresenta a figura “Duração da atividade”.
O diagrama Duração da atividade parte do pressuposto – muito mais ajustado à realidade do que às hipóteses baseadas em uma duração constante e exatamente conhecida – de que a duração da atividade “projeto geral” se situa entre os 13 e os 18 dias. O método probabilístico supõe que a duração admite uma gama de valores para cada atividade, aos quais se atribui certa possibilidade de ocorrer.
Uma análise probabilística das atividades da rede permitirá ao diretor elaborar dados importantes para a tomada de decisões.
Assim, poderá fazer e responder perguntas como:
Que probabilidade existe de que uma atividade se estenda para além de 15 de maio?
Que probabilidade existe de que o projeto não esteja terminado até 16 de junho?
Que probabilidade existe de que uma atividade seja crítica e afete a duração do projeto?
Para analisar esse tipo de questões, seria muito conveniente dispor de uma informação detalhada ao nível da distribuição das probabilidades e da duração de cada uma das atividades do projeto.
Na prática, em um projeto com centenas ou milhares de atividades, é impensável que se disponha do tempo ou dos conhecimentos suficientes para chegar à distribuição de probabilidade detalhada para todas as atividades.
Em vez de usar distribuições empíricas, avaliadas ponto por ponto pelos responsáveis do projeto, utilizam-se, na prática, aproximações das distribuições teóricas, das quais se aproximam as reais (subjetivas) mediante a escolha de determinados parâmetros.
Na análise de redes, costuma-se usar a denominada distribuição Beta, que especifica os tempos em: otimista, pessimista e mais provável.
Entende-se por tempo otimista (to) o menor prazo no qual se pode completar a atividade se tudo sair bem.
Teoricamente, existiria apenas uma possibilidade sobre cem de que a atividade se complete antes deste período de tempo.
A duração pessimista (tp) é a duração máxima na qual se estima que se pode alcançar a atividade sob condições adversas ordinárias.
De novo, a teoria pressupõe que existe apenas uma possibilidade entre cem de que esta duração seja superada.
A duração mais provável ™ é aquela que a priori tem maiores probabilidades.
Aplicando estes conceitos à atividade “desenho geral”, em vez da distribuição de probabilidade do processo de realização da etiquetagem, se especificarão os três valores, to = 13, tp = 18 e tm = 15, que nos servirão para ajustar a distribuição Beta como distribuição de probabilidade da duração da atividade.
Para o desenvolvimento do modelo probabilístico, usam-se conhecimentos provenientes da “Teoria da probabilidade e da Estatística”.
Em particular, serão utilizados quatro conceitos de Estatística:
- O valor esperado de uma variável que segue uma distribuição Beta é dado por:
t = ( to + 4 tm + tp ) / 6
- A variância da distribuição Beta calcula-se como:
δt2 = [ ( tp – to2) / 6 ]
- A partir de um número grande de variáveis aleatórias (em qualquer caso sempre superior a 30), a soma dos valores que elas podem tomar é outra variável aleatória segundo a lei normal, com valor médio igual à soma dos valores médios das variáveis.
Pode-se afirmar que isto é completamente certo, mesmo quando as variáveis individuais não seguem a distribuição normal.
- A variância da soma das variáveis aleatórias independentes é a soma das variâncias.
Em termos de planejamento das redes, estes dois últimos conceitos significam que a duração esperada do projeto é a soma das durações esperadas em cada uma das atividades de seu caminho crítico.
Por outro lado, a probabilidade de que a duração total do projeto exceda o valor esperado é de 50%.
A partir dos valores esperados e das variâncias das atividades no caminho crítico (em uma primeira aproximação), podem-se calcular o valor esperado da duração do projeto e a variância desta duração, usando as tabelas da distribuição normal (“Tabela 4”) para atribuir probabilidades a cada possível duração do projeto global.
Aplicando estes conceitos ao exemplo do brinquedo eletrônico, com os dados da (“Tabela 5”), na qual se acrescentaram as estimativas otimista, pessimista e mais provável, resulta o seguinte:
- O caminho crítico é 0 – 1 – 3 – 4 – 5, com uma duração esperada como a que resulta da seguinte equação:
d = 15,17 + 19,83 + 15,17 + 10,66 = 60,83 dias
- A variância da duração total do projeto, calculada a partir da variância das atividades do caminho crítico é:
σ2 = 0,694 + 0,694 + 0,250 + 0,444 = 2,082
e portanto o desvio-padrão é:
σ = √ 2,08 = 1,443
- A partir dos cálculos anteriores e da tabela normal, pode-se calcular:
1) A probabilidade de finalizar o projeto em menos de 60 dias.
Como 60 dias equivale a um desvio negativo de 0,83 dias com relação à média, o que corresponde a 0,83 / 1,443 = -0,575 desvios-padrão, a probabilidade solicitada será aproximadamente (segundo a “Tabela 4”) de 28%.
2) A probabilidade de finalizar o projeto em menos de 65 dias.
Visto que 65 dias equivalem a (65 – 60,83) / 1,443 = 2,88 desvios-padrão positivos acima da média (segundo a “Tabela 4”), a probabilidade é de aproximadamente 99,8%.
3) A duração, para a qual existe uma probabilidade de 95% de terminar antes.
Na “Tabela 4” observa-se que a probabilidade de 95% se obtém para um valor de k aproximadamente igual a 1,65.
Portanto, o valor solicitado se encontrará somando 1,65 desvios padrão à média:
d = 60,83 + (1,65 x 1,443) = 63,2 dias
Logicamente, os cálculos anteriores devem servir somente de exemplo de cálculo, já que, ao se tratar de poucas atividades, os últimos dois conceitos da teoria de probabilidades mencionados anteriormente não são estritamente aplicáveis.
Leia mais em:
- Entenda as atividades nos nodos de rede
- Entenda os tipos de recursos escassos
- Como entender a direção de projetos
Fonte: Jaime Ribera Segura – Ph.D. e Master of Sciences in Operations Research; e Josep Riverola García – Master of Sciences in Operations Research, Ph.D. in Operations Research e Catedrático da Politécnica de Barcelona.
