São comuns, em conversas de especialistas, os termos “erosão monetária”, “depreciação do dinheiro” ou as expressões do tipo “valores da época”.
Todos estes termos e expressões trazem implícito o conceito de que o dinheiro vai mudando de valor com o tempo.
Uma forma clara de introduzir a teoria subjacente ao valor do dinheiro no tempo é através do conceito de juro.
Todo mundo conhece o procedimento mediante o qual, depositando certa quantidade de dinheiro num banco ou caixa econômica, a entidade financeira depositária retribui ao poupador uma certa quantidade anual (juros), que é a função da soma depositada e do tipo de juro.
Por exemplo, uma pessoa que tivesse depositado 1.000 u.m. (unidades monetárias) no dia 1 de janeiro de 1984 a 12% ao ano, no final do ano receberia os seguintes juros:
I1 = 1.000 x 12 / 100 = 120 u.m.
Se o mesmo depósito tivesse ficado somente seis meses na entidade financeira, os juros teriam sido os seguintes:
I1 = 1.000 x 12 / 100 x 180 / 360 = 60 u.m.
Por outro lado, é bastante frequente o poupador deixar os juros gerados depositados em sua conta.
Com isto o processo repete-se e geram-se novos juros equivalentes a:
I2 = 1.120 x 12 / 100 = 134,4 u.m.
Estes, se forem novamente reinvestidos, gerarão juros durante o terceiro ano de:
I3 = 1.254,40 x 12 / 100 = 150,53 u.m.
Repetindo-se este processo, chega-se quase a duplicar o capital inicial, no fim de anos.
Generalizando a série de valores que obtém ao calcular o incremento progressivo do dinheiro depositado, pode-se concluir que um capital C0 colocado a juros i (expressos tanto por ano) converte-se, ao cabo de n anos, em um capital:
Cn = C0 (1 + i)n
A operação expressa, que serve para calcular valores futuros de quantidades de dinheiro, é conhecida tecnicamente sob o nome de capitalização; e assim fala-se de capitalizar a juros compostos uma certa quantia (o capital inicial), a um determinado tipo de juros, durante um certo número de períodos de tempo.
Existem tabelas financeiras que dão o fator de capitalização para uma unidade monetária, em função do tipo de juro e do número de anos durante os quais vai ficar investida.
Contudo, as tabelas financeiras caíram em desuso desde o aparecimento das calculadoras de bolso.
Juro simples versus composto A figura ilustra o efeito que o juro composto (capitalização) tem sobre o crescimento dos capitais. 100 unidades monetárias convertem-se em 200 u.m. no final de 10 anos considerando somente os juros destes 10 anos sobre o capital. 100 + 10 x (100 x 0,10) Contudo, ao considerar o juro composto, entram em jogo os juros sobre juros, o que produz o efeito de que no final de dez anos o capital acumulado alcança as 259 u.m. (valor final). Da mesma forma, pode-se ver no gráfico o efeito que a operação de desconto produz. Na parte inferior do mesmo, observa-se que 100 u.m. dentro de 10 anos são equivalentes a 38,55 u.m. de hoje se se desconta a uma taxa de 10%. |
Os períodos de investimento
Como período de capitalização costuma-se utilizar o ano (calendário gregoriano), mas em determinados casos (por exemplo, no cálculo de custos das fontes de financiamento) podem ser considerados períodos diferentes.
É interessante comparar os resultados da capitalização de 1.000 u.m. a 12% ao ano e a 6% ao semestre, tal como se apresentam nos quadros de capitalização.
Enquanto no primeiro caso (Capitalização a 12% ao ano) as 1.000 u.m. converteram-se em 1.254,40 no final do segundo ano, no segundo caso (Capitalização a 6% ao semestre) o montante no fim do segundo ano será de 1.262,48 u.m.
O que aconteceu?
Simplesmente, a taxa de capitalização de 6% ao semestre não é equivalente a uma taxa de capitalização de 12% ao ano.
Sem entrar em raciocínios matemáticos, é fácil entender: no segundo caso, os juros começam a render a partir do sexto mês, ao passo que, no primeiro, os juros só se incorporam ao capital depois de transcorrido o ano.
É interessante determinar qual é a taxa que se deveria capitalizar semestralmente para obter um rendimento equivalente a 12% ao ano.
Chamemos i uma taxa que, capitalizando semestralmente, converta as 1.000 u.m. iniciais em 1.120 u.m. no final do ano.
Colocando as 1.000 u.m. a juros i (semestral), de acordo com a fórmula dada anteriormente, no final do primeiro semestre teríamos um montante de:
C1 = 1.000 (1 + i)
E no final do segundo semestre:
C2 = 1.000 (1 + i)2
Se queremos que C2 seja as 1.120 u.m. indicadas acima, não temos outra coisa a fazer senão encontrar o i da equação:
1.120 = 1.000 (1 + i)2
i = 5,83%
Assim, a taxa de capitalização semestral equivalente à de 12% anual não é 6%, mas 5,83%.
Generalizando:
i = taxa anual de capitalização;
ip = taxa de capitalização para um período menor do que um ano;
p = duração do período (em dias).
Disso deverá resultar o seguinte:
(1 + i) = (1 + ip)365/p
Daí podemos deduzir a fórmula geral da taxa de capitalização, para períodos inferiores a um ano:
ip = (1 + i)p/365 – 1
Leia mais em:
- Entenda o valor futuro do dinheiro
- Entenda o efeito da inflação
- Entenda os fluxos monetários
- Entenda as tabelas financeiras
- Como entender o valor do dinheiro
Fonte: Josep Tàpies Lloret – Engenheiro Industrial pela Universidade Politécnica de Barcelona, Espanha. Master em Direção e Administração de Empresas.
